แก้โจทย์ {l}{3x+y=7}{5x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 7 } \\ { 5 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=7,5x-y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=7$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+7

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+7}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=1

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{7}{3}\right)-y=1$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-y+7}{3}

$$-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}-y=1$$

เพิ่ม -\frac{5y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{8}{3}y+\frac{35}{3}=1$$

ลบ \frac{35}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{32}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{7}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{7}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 4

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

เพิ่ม \frac{7}{3} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=7,5x-y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\times 7-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=7,5x-y=1$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+5y=35,15x-3y=3$$

ลบ 15x-3y=3 จาก 15x+5y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+5y+3y=35-3$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y+3y=35-3$$

เพิ่ม 5y ไปยัง 3y

$$8y=35-3$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -3

$$8y=32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 5x-y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-4=1$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=4$$