แก้โจทย์ {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=11$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+11

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+11}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x-y=11

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

คูณ -4 ด้วย \frac{-y+11}{3}

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง -y

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

เพิ่ม \frac{44}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=77$$

ทดแทน 77 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 77

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

เพิ่ม \frac{11}{3} ไปยัง -\frac{77}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-22$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-22,y=77$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-22,y=77$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

เพื่อทำให้ 3x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

ลบ -12x-3y=33 จาก -12x-4y=-44 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

เพิ่ม -12x ไปยัง 12x ตัดพจน์ -12x และ 12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y+3y=-44-33$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 3y

$$-y=-44-33$$

เพิ่ม -44 ไปยัง -33

$$-y=-77$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=77$$

ทดแทน 77 สำหรับ y ใน -4x-y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x-77=11$$

เพิ่ม 77 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=88$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=-22$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-22,y=77$$