แก้โจทย์ {l}{3x+9y-15=48}{-2x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 9 y - 15 = 48 } \\ { - 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+9y-15=48$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x+9y=63$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-9y+63$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-9y+63\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -9y+63

$$x=-3y+21$$

ทดแทน -3y+21 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+3y=3

$$-2\left(-3y+21\right)+3y=3$$

คูณ -2 ด้วย -3y+21

$$6y-42+3y=3$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 3y

$$9y-42=3$$

เพิ่ม 42 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-3y+21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3\times 5+21$$

คูณ -3 ด้วย 5

$$x=-15+21$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -15

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\times 3-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 63-\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{27}\times 63+\frac{1}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

เพื่อทำให้ 3x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-2\times 3x-2\times 9y-2\left(-15\right)=-2\times 48,3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x-18y+30=-96,-6x+9y=9$$

ลบ -6x+9y=9 จาก -6x-18y+30=-96 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x-18y-9y+30=-96-9$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-18y-9y+30=-96-9$$

เพิ่ม -18y ไปยัง -9y

$$-27y+30=-96-9$$

เพิ่ม -96 ไปยัง -9

$$-27y+30=-105$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-27y=-135$$

หารทั้งสองข้างด้วย -27

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน -2x+3y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+3\times 5=3$$

คูณ 3 ด้วย 5

$$-2x+15=3$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=5$$