แก้โจทย์ {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+6y=24$$

ลบ 6y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-6y+24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -6y+24

$$x=-2y+8$$

ทดแทน -2y+8 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x+5y=68

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

คูณ 9 ด้วย -2y+8

$$-18y+72+5y=68$$

เพิ่ม -18y ไปยัง 5y

$$-13y+72=68$$

ลบ 72 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-13y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=\frac{4}{13}$$

ทดแทน \frac{4}{13} สำหรับ y ใน x=-2y+8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

คูณ -2 ด้วย \frac{4}{13}

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -\frac{8}{13}

$$x=\frac{96}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

เพื่อทำให้ 3x และ 9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

ลบ 27x+15y=204 จาก 27x+54y=216 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

เพิ่ม 27x ไปยัง -27x ตัดพจน์ 27x และ -27x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$54y-15y=216-204$$

เพิ่ม 54y ไปยัง -15y

$$39y=216-204$$

เพิ่ม 216 ไปยัง -204

$$39y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 39

$$y=\frac{4}{13}$$

ทดแทน \frac{4}{13} สำหรับ y ใน 9x+5y=68 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

คูณ 5 ด้วย \frac{4}{13}

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

ลบ \frac{20}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=\frac{864}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{96}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$