แก้โจทย์ {l}{3x+5y=700}{5x+6y=1050}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 700 } \\ { 5 x + 6 y = 1050 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=150$$

$$y=50$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=700,5x+6y=1050$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=700$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y+700$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+700\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y+700

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{700}{3}$$

ทดแทน \frac{-5y+700}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+6y=1050

$$5\left(-\frac{5}{3}y+\frac{700}{3}\right)+6y=1050$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-5y+700}{3}

$$-\frac{25}{3}y+\frac{3500}{3}+6y=1050$$

เพิ่ม -\frac{25y}{3} ไปยัง 6y

$$-\frac{7}{3}y+\frac{3500}{3}=1050$$

ลบ \frac{3500}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{350}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=50$$

ทดแทน 50 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y+\frac{700}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\times 50+\frac{700}{3}$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย 50

$$x=\frac{-250+700}{3}$$

เพิ่ม \frac{700}{3} ไปยัง -\frac{250}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=150$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=150,y=50$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=700,5x+6y=1050$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}700\\1050\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}700\\1050\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}700\\1050\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}700\\1050\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-5\times 5}&\frac{3}{3\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}700\\1050\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}700\\1050\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\times 700+\frac{5}{7}\times 1050\\\frac{5}{7}\times 700-\frac{3}{7}\times 1050\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}150\\50\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=150,y=50$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=700,5x+6y=1050$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 700,3\times 5x+3\times 6y=3\times 1050$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+25y=3500,15x+18y=3150$$

ลบ 15x+18y=3150 จาก 15x+25y=3500 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+25y-18y=3500-3150$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$25y-18y=3500-3150$$

เพิ่ม 25y ไปยัง -18y

$$7y=3500-3150$$

เพิ่ม 3500 ไปยัง -3150

$$7y=350$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=50$$

ทดแทน 50 สำหรับ y ใน 5x+6y=1050 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+6\times 50=1050$$

คูณ 6 ด้วย 50

$$5x+300=1050$$

ลบ 300 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=750$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=150$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=150,y=50$$