แก้โจทย์ {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=4$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y+4

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{-5y+4}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+4y=11

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

คูณ -3 ด้วย \frac{-5y+4}{3}

$$5y-4+4y=11$$

เพิ่ม 5y ไปยัง 4y

$$9y-4=11$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9y=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{5}{3} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

คูณ -\frac{5}{3} ครั้ง \frac{5}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยัง -\frac{25}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{13}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

เพื่อทำให้ 3x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

ลบ -9x+12y=33 จาก -9x-15y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

เพิ่ม -9x ไปยัง 9x ตัดพจน์ -9x และ 9x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-15y-12y=-12-33$$

เพิ่ม -15y ไปยัง -12y

$$-27y=-12-33$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -33

$$-27y=-45$$

หารทั้งสองข้างด้วย -27

$$y=\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{5}{3} สำหรับ y ใน -3x+4y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

คูณ 4 ด้วย \frac{5}{3}

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

ลบ \frac{20}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=\frac{13}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{13}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$