แก้โจทย์ {l}{3x+4y=1}{x-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7} \approx 2.428571429$$

$$y = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+4y=1,x-y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+4y=1$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-4y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4y+1

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-4y+1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-y=4

$$-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-y=4$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{7}{3}y+\frac{1}{3}=4$$

ลบ \frac{1}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{3}y=\frac{11}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{11}{7}$$

ทดแทน -\frac{11}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{11}{7}\right)+\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง -\frac{11}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{44}{21}+\frac{1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง \frac{44}{21} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{17}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{17}{7},y=-\frac{11}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+4y=1,x-y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{4}{7}\times 4\\\frac{1}{7}-\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{7}\\-\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{17}{7},y=-\frac{11}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+4y=1,x-y=4$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x+4y=1,3x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x+4y=1,3x-3y=12$$

ลบ 3x-3y=12 จาก 3x+4y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+4y+3y=1-12$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y+3y=1-12$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 3y

$$7y=1-12$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -12

$$7y=-11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=-\frac{11}{7}$$

ทดแทน -\frac{11}{7} สำหรับ y ใน x-y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-\left(-\frac{11}{7}\right)=4$$

ลบ \frac{11}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{17}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{17}{7},y=-\frac{11}{7}$$