แก้โจทย์ {l}{3x+2y-7=0}{x-5y+9=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { x - 5 y + 9 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y-7=0$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x+2y=7$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+7

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y+7}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-5y+9=0

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-5y+9=0$$

เพิ่ม -\frac{2y}{3} ไปยัง -5y

$$-\frac{17}{3}y+\frac{7}{3}+9=0$$

เพิ่ม \frac{7}{3} ไปยัง 9

$$-\frac{17}{3}y+\frac{34}{3}=0$$

ลบ \frac{34}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{17}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ด้วย 2

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

เพิ่ม \frac{7}{3} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-9\right)\\\frac{1}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x+2y-7=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 9=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x+2y-7=0,3x-15y+27=0$$

ลบ 3x-15y+27=0 จาก 3x+2y-7=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+2y+15y-7-27=0$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+15y-7-27=0$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 15y

$$17y-7-27=0$$

เพิ่ม -7 ไปยัง -27

$$17y-34=0$$

เพิ่ม 34 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$17y=34$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x-5y+9=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-5\times 2+9=0$$

คูณ -5 ด้วย 2

$$x-10+9=0$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 9

$$x-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1,y=2$$