แก้โจทย์ {l}{3x+2y=17}{5x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

$$y = \frac{79}{13} = 6\frac{1}{13} \approx 6.076923077$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=17$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+17

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y+17}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=2

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)-y=2$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-2y+17}{3}

$$-\frac{10}{3}y+\frac{85}{3}-y=2$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{13}{3}y+\frac{85}{3}=2$$

ลบ \frac{85}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{79}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{79}{13}$$

ทดแทน \frac{79}{13} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{79}{13}+\frac{17}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{79}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{158}{39}+\frac{17}{3}$$

เพิ่ม \frac{17}{3} ไปยัง -\frac{158}{39} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{21}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 17+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{13}\\\frac{79}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

เพื่อทำให้ 3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 17,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15x+10y=85,15x-3y=6$$

ลบ 15x-3y=6 จาก 15x+10y=85 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-15x+10y+3y=85-6$$

เพิ่ม 15x ไปยัง -15x ตัดพจน์ 15x และ -15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y+3y=85-6$$

เพิ่ม 10y ไปยัง 3y

$$13y=85-6$$

เพิ่ม 85 ไปยัง -6

$$13y=79$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=\frac{79}{13}$$

ทดแทน \frac{79}{13} สำหรับ y ใน 5x-y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-\frac{79}{13}=2$$

เพิ่ม \frac{79}{13} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=\frac{105}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{21}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$