แก้โจทย์ {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=1$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+1

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y+1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-7y=-2

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-2y+1}{3}

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง -7y

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

ลบ \frac{2}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{25}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{8}{25}$$

ทดแทน \frac{8}{25} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{8}{25} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง -\frac{16}{75} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{25}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

ลบ 6x-21y=-6 จาก 6x+4y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y+21y=2+6$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 21y

$$25y=2+6$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 6

$$25y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$y=\frac{8}{25}$$

ทดแทน \frac{8}{25} สำหรับ y ใน 2x-7y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

คูณ -7 ด้วย \frac{8}{25}

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

เพิ่ม \frac{56}{25} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{6}{25}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{3}{25}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$