แก้โจทย์ {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=1$$

$$n=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3m+4n=7$$

ลบ 4n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3m=-4n+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4n+7

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

ทดแทน \frac{-4n+7}{3} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง 4m-3n-1=0

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{-4n+7}{3}

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

เพิ่ม -\frac{16n}{3} ไปยัง -3n

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

เพิ่ม \frac{28}{3} ไปยัง -1

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

ลบ \frac{25}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{25}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ n ใน m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

เพิ่ม \frac{7}{3} ไปยัง -\frac{4}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=1,n=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=1,n=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

เพื่อทำให้ 3m และ 4m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

ลบ 12m-9n-3=0 จาก 12m+16n=28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

เพิ่ม 12m ไปยัง -12m ตัดพจน์ 12m และ -12m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$16n+9n+3=28$$

เพิ่ม 16n ไปยัง 9n

$$25n+3=28$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25n=25$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$n=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ n ใน 4m-3n-1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$4m-3-1=0$$

เพิ่ม -3 ไปยัง -1

$$4m-4=0$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4m=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$m=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=1,n=1$$