แก้โจทย์ {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3a+14b=4$$

ลบ 14b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3a=-14b+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -14b+4

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{-14b+4}{3} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 13a+19b=13

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

คูณ 13 ด้วย \frac{-14b+4}{3}

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

เพิ่ม -\frac{182b}{3} ไปยัง 19b

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

ลบ \frac{52}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{125}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=\frac{13}{125}$$

ทดแทน \frac{13}{125} สำหรับ b ใน a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

คูณ -\frac{14}{3} ครั้ง \frac{13}{125} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

เพิ่ม \frac{4}{3} ไปยัง -\frac{182}{375} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{106}{125}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

เพื่อทำให้ 3a และ 13a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 13 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

ลบ 39a+57b=39 จาก 39a+182b=52 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

เพิ่ม 39a ไปยัง -39a ตัดพจน์ 39a และ -39a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$182b-57b=52-39$$

เพิ่ม 182b ไปยัง -57b

$$125b=52-39$$

เพิ่ม 52 ไปยัง -39

$$125b=13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 125

$$b=\frac{13}{125}$$

ทดแทน \frac{13}{125} สำหรับ b ใน 13a+19b=13 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

คูณ 19 ด้วย \frac{13}{125}

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

ลบ \frac{247}{125} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$13a=\frac{1378}{125}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$a=\frac{106}{125}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$