แก้โจทย์ {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-1

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-1

$$3x-3=2y-2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x-3-2y=-2$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$3x-2y=-2+3$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$3x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y-1

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+5

$$4y-4=3x+15$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$4y-4-3x=15$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4y-3x=15+4$$

เพิ่ม 15 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 19

$$4y-3x=19$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=1$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2y+1

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{2y+1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+4y=19

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

คูณ -3 ด้วย \frac{2y+1}{3}

$$-2y-1+4y=19$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 4y

$$2y-1=19$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 10

$$x=\frac{20+1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง \frac{20}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=10$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-1

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-1

$$3x-3=2y-2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x-3-2y=-2$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$3x-2y=-2+3$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$3x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y-1

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+5

$$4y-4=3x+15$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$4y-4-3x=15$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4y-3x=15+4$$

เพิ่ม 15 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 19

$$4y-3x=19$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=7,y=10$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-1

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-1

$$3x-3=2y-2$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x-3-2y=-2$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$3x-2y=-2+3$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$3x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y-1

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+5

$$4y-4=3x+15$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$4y-4-3x=15$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4y-3x=15+4$$

เพิ่ม 15 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 19

$$4y-3x=19$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

เพื่อทำให้ 3x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

ลบ -9x+12y=57 จาก -9x+6y=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

เพิ่ม -9x ไปยัง 9x ตัดพจน์ -9x และ 9x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-12y=-3-57$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -12y

$$-6y=-3-57$$

เพิ่ม -3 ไปยัง -57

$$-6y=-60$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=10$$

ทดแทน 10 สำหรับ y ใน -3x+4y=19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+4\times 10=19$$

คูณ 4 ด้วย 10

$$-3x+40=19$$

ลบ 40 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-21$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=7$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=7,y=10$$