แก้โจทย์ {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+y

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-y

$$3x+3y+9=2x-2y$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+3y+9=-2y$$

เพิ่ม 2y ไปทั้งสองด้าน

$$x+3y+9+2y=0$$

รวม 3y และ 2y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$x+5y+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x+5y=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y

$$2x+2y=3x-3y-4$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

รวม 2x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+2y=-3y-4$$

เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-x+2y+3y=-4$$

รวม 2y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$-x+5y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+5y=-9$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-5y-9$$

ทดแทน -5y-9 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+5y=-4

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

คูณ -1 ด้วย -5y-9

$$5y+9+5y=-4$$

เพิ่ม 5y ไปยัง 5y

$$10y+9=-4$$

ลบ 9 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10y=-13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-\frac{13}{10}$$

ทดแทน -\frac{13}{10} สำหรับ y ใน x=-5y-9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

คูณ -5 ด้วย -\frac{13}{10}

$$x=\frac{13}{2}-9$$

เพิ่ม -9 ไปยัง \frac{13}{2}

$$x=-\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+y

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-y

$$3x+3y+9=2x-2y$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+3y+9=-2y$$

เพิ่ม 2y ไปทั้งสองด้าน

$$x+3y+9+2y=0$$

รวม 3y และ 2y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$x+5y+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x+5y=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y

$$2x+2y=3x-3y-4$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

รวม 2x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+2y=-3y-4$$

เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-x+2y+3y=-4$$

รวม 2y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$-x+5y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+y

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-y

$$3x+3y+9=2x-2y$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+3y+9=-2y$$

เพิ่ม 2y ไปทั้งสองด้าน

$$x+3y+9+2y=0$$

รวม 3y และ 2y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$x+5y+9=0$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x+5y=-9$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y

$$2x+2y=3x-3y-4$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

รวม 2x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+2y=-3y-4$$

เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-x+2y+3y=-4$$

รวม 2y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$-x+5y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

ลบ -x+5y=-4 จาก x+5y=-9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x+x=-9+4$$

เพิ่ม x ไปยัง x

$$2x=-9+4$$

เพิ่ม -9 ไปยัง 4

$$2x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{5}{2}$$

ทดแทน -\frac{5}{2} สำหรับ x ใน -x+5y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{5}{2}

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-\frac{13}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-\frac{13}{10}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$