แก้โจทย์ {l}{3(x+3)-2(x-y)=6}{2(2x-1)-(y+2)=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 3 ) - 2 ( x - y ) = 6 } \\ { 2 ( 2 x - 1 ) - ( y + 2 ) = - 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1.222222222$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+3

$$3x+9-2\left(x-y\right)=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x-y

$$3x+9-2x+2y=6$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+9+2y=6$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$x+2y=6-9$$

ลบ 9 จาก 6 เพื่อรับ -3

$$x+2y=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 2x-1

$$4x-2-\left(y+2\right)=-8$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y+2 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x-2-y-2=-8$$

ลบ 2 จาก -2 เพื่อรับ -4

$$4x-4-y=-8$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4x-y=-8+4$$

เพิ่ม -8 และ 4 เพื่อให้ได้รับ -4

$$4x-y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=-3,4x-y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=-3$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y-3$$

ทดแทน -2y-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-y=-4

$$4\left(-2y-3\right)-y=-4$$

คูณ 4 ด้วย -2y-3

$$-8y-12-y=-4$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -y

$$-9y-12=-4$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9y=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$y=-\frac{8}{9}$$

ทดแทน -\frac{8}{9} สำหรับ y ใน x=-2y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-\frac{8}{9}\right)-3$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{8}{9}

$$x=\frac{16}{9}-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง \frac{16}{9}

$$x=-\frac{11}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{8}{9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+3

$$3x+9-2\left(x-y\right)=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x-y

$$3x+9-2x+2y=6$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+9+2y=6$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$x+2y=6-9$$

ลบ 9 จาก 6 เพื่อรับ -3

$$x+2y=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 2x-1

$$4x-2-\left(y+2\right)=-8$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y+2 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x-2-y-2=-8$$

ลบ 2 จาก -2 เพื่อรับ -4

$$4x-4-y=-8$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4x-y=-8+4$$

เพิ่ม -8 และ 4 เพื่อให้ได้รับ -4

$$4x-y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=-3,4x-y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 4}&-\frac{2}{-1-2\times 4}\\-\frac{4}{-1-2\times 4}&\frac{1}{-1-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\left(-4\right)\\\frac{4}{9}\left(-3\right)-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{8}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+3

$$3x+9-2\left(x-y\right)=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x-y

$$3x+9-2x+2y=6$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+9+2y=6$$

ลบ 9 จากทั้งสองด้าน

$$x+2y=6-9$$

ลบ 9 จาก 6 เพื่อรับ -3

$$x+2y=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 2x-1

$$4x-2-\left(y+2\right)=-8$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y+2 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$4x-2-y-2=-8$$

ลบ 2 จาก -2 เพื่อรับ -4

$$4x-4-y=-8$$

เพิ่ม 4 ไปทั้งสองด้าน

$$4x-y=-8+4$$

เพิ่ม -8 และ 4 เพื่อให้ได้รับ -4

$$4x-y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=-3,4x-y=-4$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4\times 2y=4\left(-3\right),4x-y=-4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+8y=-12,4x-y=-4$$

ลบ 4x-y=-4 จาก 4x+8y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+8y+y=-12+4$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y+y=-12+4$$

เพิ่ม 8y ไปยัง y

$$9y=-12+4$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 4

$$9y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$y=-\frac{8}{9}$$

ทดแทน -\frac{8}{9} สำหรับ y ใน 4x-y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-\left(-\frac{8}{9}\right)=-4$$

ลบ \frac{8}{9} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-\frac{44}{9}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-\frac{11}{9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{8}{9}$$