แก้โจทย์ {l}{3(x+2)=2y}{2cy+s=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + s = 7 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+2

$$3x+6=2y$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+6-2y=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-2y=-6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$2cy+s-7x=0$$

ลบ s จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2cy-7x=-s$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=-6$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -6+2y

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

ทดแทน \frac{2y}{3}-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x+2cy=-s

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

คูณ -7 ด้วย \frac{2y}{3}-2

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

เพิ่ม -\frac{14y}{3} ไปยัง 2cy

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

ลบ 14 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -\frac{14}{3}+2c

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

ทดแทน -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -\frac{s+14}{-7+3c}

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+2

$$3x+6=2y$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+6-2y=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-2y=-6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$2cy+s-7x=0$$

ลบ s จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2cy-7x=-s$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+2

$$3x+6=2y$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+6-2y=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-2y=-6$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$2cy+s-7x=0$$

ลบ s จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2cy-7x=-s$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

เพื่อทำให้ 3x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

ลบ -21x+6cy=-3s จาก -21x+14y=42 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

เพิ่ม -21x ไปยัง 21x ตัดพจน์ -21x และ 21x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

เพิ่ม 14y ไปยัง -6cy

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

เพิ่ม 42 ไปยัง 3s

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14-6c

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

ทดแทน \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} สำหรับ y ใน -7x+2cy=-s เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

คูณ 2c ด้วย \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

ลบ \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$