แก้โจทย์ {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 5x-2

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย 2y+3

$$15x-6-14y-21=2$$

ลบ 21 จาก -6 เพื่อรับ -27

$$15x-27-14y=2$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$15x-14y=2+27$$

เพิ่ม 2 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 29

$$15x-14y=29$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-y

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 4-9x

$$6x-2y-23=12-27x$$

เพิ่ม 27x ไปทั้งสองด้าน

$$6x-2y-23+27x=12$$

รวม 6x และ 27x เพื่อให้ได้รับ 33x

$$33x-2y-23=12$$

เพิ่ม 23 ไปทั้งสองด้าน

$$33x-2y=12+23$$

เพิ่ม 12 และ 23 เพื่อให้ได้รับ 35

$$33x-2y=35$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15x-14y=29$$

เพิ่ม 14y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$15x=14y+29$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

คูณ \frac{1}{15} ด้วย 14y+29

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

ทดแทน \frac{14y+29}{15} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 33x-2y=35

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

คูณ 33 ด้วย \frac{14y+29}{15}

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

เพิ่ม \frac{154y}{5} ไปยัง -2y

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

ลบ \frac{319}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{144}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

คูณ \frac{14}{15} ด้วย -1

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

เพิ่ม \frac{29}{15} ไปยัง -\frac{14}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 5x-2

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย 2y+3

$$15x-6-14y-21=2$$

ลบ 21 จาก -6 เพื่อรับ -27

$$15x-27-14y=2$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$15x-14y=2+27$$

เพิ่ม 2 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 29

$$15x-14y=29$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-y

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 4-9x

$$6x-2y-23=12-27x$$

เพิ่ม 27x ไปทั้งสองด้าน

$$6x-2y-23+27x=12$$

รวม 6x และ 27x เพื่อให้ได้รับ 33x

$$33x-2y-23=12$$

เพิ่ม 23 ไปทั้งสองด้าน

$$33x-2y=12+23$$

เพิ่ม 12 และ 23 เพื่อให้ได้รับ 35

$$33x-2y=35$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 5x-2

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -7 ด้วย 2y+3

$$15x-6-14y-21=2$$

ลบ 21 จาก -6 เพื่อรับ -27

$$15x-27-14y=2$$

เพิ่ม 27 ไปทั้งสองด้าน

$$15x-14y=2+27$$

เพิ่ม 2 และ 27 เพื่อให้ได้รับ 29

$$15x-14y=29$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 3x-y

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 4-9x

$$6x-2y-23=12-27x$$

เพิ่ม 27x ไปทั้งสองด้าน

$$6x-2y-23+27x=12$$

รวม 6x และ 27x เพื่อให้ได้รับ 33x

$$33x-2y-23=12$$

เพิ่ม 23 ไปทั้งสองด้าน

$$33x-2y=12+23$$

เพิ่ม 12 และ 23 เพื่อให้ได้รับ 35

$$33x-2y=35$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

เพื่อทำให้ 15x และ 33x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 33 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 15

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

ลบ 495x-30y=525 จาก 495x-462y=957 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

เพิ่ม 495x ไปยัง -495x ตัดพจน์ 495x และ -495x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-462y+30y=957-525$$

เพิ่ม -462y ไปยัง 30y

$$-432y=957-525$$

เพิ่ม 957 ไปยัง -525

$$-432y=432$$

หารทั้งสองข้างด้วย -432

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 33x-2y=35 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

คูณ -2 ด้วย -1

$$33x+2=35$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$33x=33$$

หารทั้งสองข้างด้วย 33

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$