แก้โจทย์ {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$25x+35y=16500$$

ลบ 35y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$25x=-35y+16500$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

คูณ \frac{1}{25} ด้วย -35y+16500

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

ทดแทน -\frac{7y}{5}+660 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=500

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

เพิ่ม -\frac{7y}{5} ไปยัง y

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

ลบ 660 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{2}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=400$$

ทดแทน 400 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{5}y+660 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

คูณ -\frac{7}{5} ด้วย 400

$$x=-560+660$$

เพิ่ม 660 ไปยัง -560

$$x=100$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=100,y=400$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=100,y=400$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

เพื่อทำให้ 25x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 25

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

ลบ 25x+25y=12500 จาก 25x+35y=16500 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

เพิ่ม 25x ไปยัง -25x ตัดพจน์ 25x และ -25x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$35y-25y=16500-12500$$

เพิ่ม 35y ไปยัง -25y

$$10y=16500-12500$$

เพิ่ม 16500 ไปยัง -12500

$$10y=4000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=400$$

ทดแทน 400 สำหรับ y ใน x+y=500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+400=500$$

ลบ 400 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=100$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=100,y=400$$