แก้โจทย์ {l}{220x+108+100y=352}{600y+220x+108=316}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 220 x + 108 + 100 y = 352 } \\ { 600 y + 220 x + 108 = 316 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{314}{275} = 1\frac{39}{275} \approx 1.141818182$$

$$y=-\frac{9}{125}=-0.072$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$220x+100y+108=352$$

ลบ 108 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$220x+100y=244$$

ลบ 100y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$220x=-100y+244$$

หารทั้งสองข้างด้วย 220

$$x=\frac{1}{220}\left(-100y+244\right)$$

คูณ \frac{1}{220} ด้วย -100y+244

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}$$

ทดแทน -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 220x+600y+108=316

$$220\left(-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}\right)+600y+108=316$$

คูณ 220 ด้วย -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55}

$$-100y+244+600y+108=316$$

เพิ่ม -100y ไปยัง 600y

$$500y+244+108=316$$

เพิ่ม 244 ไปยัง 108

$$500y+352=316$$

ลบ 352 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$500y=-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 500

$$y=-\frac{9}{125}$$

ทดแทน -\frac{9}{125} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{11}\left(-\frac{9}{125}\right)+\frac{61}{55}$$

คูณ -\frac{5}{11} ครั้ง -\frac{9}{125} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{9}{275}+\frac{61}{55}$$

เพิ่ม \frac{61}{55} ไปยัง \frac{9}{275} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{314}{275}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{600}{220\times 600-100\times 220}&-\frac{100}{220\times 600-100\times 220}\\-\frac{220}{220\times 600-100\times 220}&\frac{220}{220\times 600-100\times 220}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}&-\frac{1}{1100}\\-\frac{1}{500}&\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}\times 244-\frac{1}{1100}\times 208\\-\frac{1}{500}\times 244+\frac{1}{500}\times 208\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{314}{275}\\-\frac{9}{125}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

ลบ 220x+600y+108=316 จาก 220x+100y+108=352 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$220x-220x+100y-600y+108-108=352-316$$

เพิ่ม 220x ไปยัง -220x ตัดพจน์ 220x และ -220x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$100y-600y+108-108=352-316$$

เพิ่ม 100y ไปยัง -600y

$$-500y+108-108=352-316$$

เพิ่ม 108 ไปยัง -108

$$-500y=352-316$$

เพิ่ม 352 ไปยัง -316

$$-500y=36$$

หารทั้งสองข้างด้วย -500

$$y=-\frac{9}{125}$$

ทดแทน -\frac{9}{125} สำหรับ y ใน 220x+600y+108=316 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$220x+600\left(-\frac{9}{125}\right)+108=316$$

คูณ 600 ด้วย -\frac{9}{125}

$$220x-\frac{216}{5}+108=316$$

เพิ่ม -\frac{216}{5} ไปยัง 108

$$220x+\frac{324}{5}=316$$

ลบ \frac{324}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$220x=\frac{1256}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 220

$$x=\frac{314}{275}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$