แก้โจทย์ {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$x+y=115-20$$

ลบ 20 จาก 115 เพื่อรับ 95

$$x+y=95$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 8y จากทั้งสองด้าน

$$11x-8y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=95,11x-8y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=95$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+95$$

ทดแทน -y+95 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 11x-8y=0

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

คูณ 11 ด้วย -y+95

$$-11y+1045-8y=0$$

เพิ่ม -11y ไปยัง -8y

$$-19y+1045=0$$

ลบ 1045 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-19y=-1045$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=55$$

ทดแทน 55 สำหรับ y ใน x=-y+95 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-55+95$$

เพิ่ม 95 ไปยัง -55

$$x=40$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=40,y=55$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$x+y=115-20$$

ลบ 20 จาก 115 เพื่อรับ 95

$$x+y=95$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 8y จากทั้งสองด้าน

$$11x-8y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=95,11x-8y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=40,y=55$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$x+y=115-20$$

ลบ 20 จาก 115 เพื่อรับ 95

$$x+y=95$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 8y จากทั้งสองด้าน

$$11x-8y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=95,11x-8y=0$$

เพื่อทำให้ x และ 11x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 11 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

ลบ 11x-8y=0 จาก 11x+11y=1045 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

เพิ่ม 11x ไปยัง -11x ตัดพจน์ 11x และ -11x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$11y+8y=1045$$

เพิ่ม 11y ไปยัง 8y

$$19y=1045$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=55$$

ทดแทน 55 สำหรับ y ใน 11x-8y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$11x-8\times 55=0$$

คูณ -8 ด้วย 55

$$11x-440=0$$

เพิ่ม 440 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$11x=440$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$x=40$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=40,y=55$$