แก้โจทย์ {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$2x-y-4x=-3$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-y=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x+y=\frac{1}{2}$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x-y=-3$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย y-3

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+3}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=\frac{1}{2}

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง y

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}y=-1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -2

$$x=1+\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง 1

$$x=\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$2x-y-4x=-3$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-y=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x+y=\frac{1}{2}$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$2x-y-4x=-3$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-y=-3$$

พิจารณาสมการที่สอง หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x+y=\frac{1}{2}$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

เพื่อทำให้ -2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

ลบ -2x-2y=-1 จาก -2x-y=-3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-y+2y=-3+1$$

เพิ่ม -y ไปยัง 2y

$$y=-3+1$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 1

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x+y=\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-2=\frac{1}{2}$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{5}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$