แก้โจทย์ {l}{2x-y=3}{x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=3,x-y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=3$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+3

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-y=-1

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-1$$

เพิ่ม \frac{y}{2} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=-1$$

ลบ \frac{3}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{5}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 5+\frac{3}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 5

$$x=\frac{5+3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง \frac{5}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=3,x-y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-\left(-1\right)\\3-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=3,x-y=-1$$

ลบ x-y=-1 จาก 2x-y=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-x-y+y=3+1$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-x=3+1$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -x

$$x=3+1$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 1

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน x-y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$4-y=-1$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=5$$