แก้โจทย์ {l}{2x-y=3}{3x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11} \approx 1.272727273$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=3$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+3

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=2

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+4y=2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3+y}{2}

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+4y=2$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง 4y

$$\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=2$$

ลบ \frac{9}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{5}{11}$$

ทดแทน -\frac{5}{11} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ครั้ง -\frac{5}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{5}{22}+\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง -\frac{5}{22} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{14}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 3+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-3y=9,6x+8y=4$$

ลบ 6x+8y=4 จาก 6x-3y=9 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-3y-8y=9-4$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y-8y=9-4$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -8y

$$-11y=9-4$$

เพิ่ม 9 ไปยัง -4

$$-11y=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=-\frac{5}{11}$$

ทดแทน -\frac{5}{11} สำหรับ y ใน 3x+4y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\left(-\frac{5}{11}\right)=2$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{5}{11}

$$3x-\frac{20}{11}=2$$

เพิ่ม \frac{20}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{42}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{14}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$