แก้โจทย์ {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก รวม 2x และ -x เพื่อให้ได้รับ x

$$x=4m+2$$

ทดแทน 4m+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x-5m=-5

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

คูณ -1 ด้วย 4m+2

$$-4m-2-5m=-5$$

เพิ่ม -4m ไปยัง -5m

$$-9m-2=-5$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-9m=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$m=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ m ใน x=4m+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

คูณ 4 ด้วย \frac{1}{3}

$$x=\frac{4}{3}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง \frac{4}{3}

$$x=\frac{10}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก รวม 2x และ -x เพื่อให้ได้รับ x

$$x=4m+2$$

ลบ 4m จากทั้งสองด้าน

$$x-4m=2$$

พิจารณาสมการที่สอง รวม x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x=5m-5$$

ลบ 5m จากทั้งสองด้าน

$$-x-5m=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ m

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก รวม 2x และ -x เพื่อให้ได้รับ x

$$x=4m+2$$

ลบ 4m จากทั้งสองด้าน

$$x-4m=2$$

พิจารณาสมการที่สอง รวม x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x=5m-5$$

ลบ 5m จากทั้งสองด้าน

$$-x-5m=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

ลบ -x-5m=-5 จาก -x+4m=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4m+5m=-2+5$$

เพิ่ม 4m ไปยัง 5m

$$9m=-2+5$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 5

$$9m=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$m=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ m ใน -x-5m=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

คูณ -5 ด้วย \frac{1}{3}

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-\frac{10}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=\frac{10}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$