แก้โจทย์ {l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-7y=8$$

เพิ่ม 7y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=7y+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 7y+8

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

ทดแทน \frac{7y}{2}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+y=-3.2

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

คูณ -2 ด้วย \frac{7y}{2}+4

$$-7y-8+y=-3.2$$

เพิ่ม -7y ไปยัง y

$$-6y-8=-3.2$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-6y=4.8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=-0.8$$

ทดแทน -0.8 สำหรับ y ใน x=\frac{7}{2}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

คูณ \frac{7}{2} ครั้ง -0.8 โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -\frac{14}{5}

$$x=\frac{6}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

เพื่อทำให้ 2x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

ลบ -4x+2y=-6.4 จาก -4x+14y=-16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$14y-2y=-16+6.4$$

เพิ่ม 14y ไปยัง -2y

$$12y=-16+6.4$$

เพิ่ม -16 ไปยัง 6.4

$$12y=-9.6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$y=-\frac{4}{5}$$

ทดแทน -\frac{4}{5} สำหรับ y ใน -2x+y=-3.2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

เพิ่ม \frac{4}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{6}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$