แก้โจทย์ {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 8x ไปทั้งสองด้าน

$$7y+8x=-17$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=10$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y+10

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 8x+7y=-17

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

คูณ 8 ด้วย \frac{3y}{2}+5

$$12y+40+7y=-17$$

เพิ่ม 12y ไปยัง 7y

$$19y+40=-17$$

ลบ 40 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$19y=-57$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย -3

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -\frac{9}{2}

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 8x ไปทั้งสองด้าน

$$7y+8x=-17$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 10 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2x-3y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 8x ไปทั้งสองด้าน

$$7y+8x=-17$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

เพื่อทำให้ 2x และ 8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

ลบ 16x+14y=-34 จาก 16x-24y=80 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

เพิ่ม 16x ไปยัง -16x ตัดพจน์ 16x และ -16x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-24y-14y=80+34$$

เพิ่ม -24y ไปยัง -14y

$$-38y=80+34$$

เพิ่ม 80 ไปยัง 34

$$-38y=114$$

หารทั้งสองข้างด้วย -38

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 8x+7y=-17 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

คูณ 7 ด้วย -3

$$8x-21=-17$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$