แก้โจทย์ {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+1

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

เพิ่ม 2 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 5-y

$$2x+8=15-3y$$

เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$2x+8+3y=15$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=15-8$$

ลบ 8 จาก 15 เพื่อรับ 7

$$2x+3y=7$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=1$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y+1

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{3y+1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=7

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{3y+1}{2}

$$3y+1+3y=7$$

เพิ่ม 3y ไปยัง 3y

$$6y+1=7$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{3}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+1

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

เพิ่ม 2 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 5-y

$$2x+8=15-3y$$

เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$2x+8+3y=15$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=15-8$$

ลบ 8 จาก 15 เพื่อรับ 7

$$2x+3y=7$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+1

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

เพิ่ม 2 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 8

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 5-y

$$2x+8=15-3y$$

เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$2x+8+3y=15$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=15-8$$

ลบ 8 จาก 15 เพื่อรับ 7

$$2x+3y=7$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

ลบ 2x+3y=7 จาก 2x-3y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3y-3y=1-7$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -3y

$$-6y=1-7$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -7

$$-6y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 2x+3y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3=7$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=1$$