แก้โจทย์ {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+2

$$2x-15=3y+6$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x-15-3y=6$$

เพิ่ม 15 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-3y=6+15$$

เพิ่ม 6 และ 15 เพื่อให้ได้รับ 21

$$2x-3y=21$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย x-4

$$7x-28=-1-5y$$

เพิ่ม 5y ไปทั้งสองด้าน

$$7x-28+5y=-1$$

เพิ่ม 28 ไปทั้งสองด้าน

$$7x+5y=-1+28$$

เพิ่ม -1 และ 28 เพื่อให้ได้รับ 27

$$7x+5y=27$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=21$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+21$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 21+3y

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

ทดแทน \frac{21+3y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x+5y=27

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

คูณ 7 ด้วย \frac{21+3y}{2}

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

เพิ่ม \frac{21y}{2} ไปยัง 5y

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

ลบ \frac{147}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{31}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย -3

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

เพิ่ม \frac{21}{2} ไปยัง -\frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+2

$$2x-15=3y+6$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x-15-3y=6$$

เพิ่ม 15 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-3y=6+15$$

เพิ่ม 6 และ 15 เพื่อให้ได้รับ 21

$$2x-3y=21$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย x-4

$$7x-28=-1-5y$$

เพิ่ม 5y ไปทั้งสองด้าน

$$7x-28+5y=-1$$

เพิ่ม 28 ไปทั้งสองด้าน

$$7x+5y=-1+28$$

เพิ่ม -1 และ 28 เพื่อให้ได้รับ 27

$$7x+5y=27$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+2

$$2x-15=3y+6$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x-15-3y=6$$

เพิ่ม 15 ไปทั้งสองด้าน

$$2x-3y=6+15$$

เพิ่ม 6 และ 15 เพื่อให้ได้รับ 21

$$2x-3y=21$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย x-4

$$7x-28=-1-5y$$

เพิ่ม 5y ไปทั้งสองด้าน

$$7x-28+5y=-1$$

เพิ่ม 28 ไปทั้งสองด้าน

$$7x+5y=-1+28$$

เพิ่ม -1 และ 28 เพื่อให้ได้รับ 27

$$7x+5y=27$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

เพื่อทำให้ 2x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

ลบ 14x+10y=54 จาก 14x-21y=147 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

เพิ่ม 14x ไปยัง -14x ตัดพจน์ 14x และ -14x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-21y-10y=147-54$$

เพิ่ม -21y ไปยัง -10y

$$-31y=147-54$$

เพิ่ม 147 ไปยัง -54

$$-31y=93$$

หารทั้งสองข้างด้วย -31

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 7x+5y=27 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

คูณ 5 ด้วย -3

$$7x-15=27$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=42$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=-3$$