แก้โจทย์ {l}{2x+y=60}{x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 60 } \\ { x = y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=20$$

$$y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=60,x-y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=60$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+60\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+60

$$x=-\frac{1}{2}y+30$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+30 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-y=0

$$-\frac{1}{2}y+30-y=0$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง -y

$$-\frac{3}{2}y+30=0$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{2}y=-30$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 20+30$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 20

$$x=-10+30$$

เพิ่ม 30 ไปยัง -10

$$x=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=20,y=20$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=60,x-y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60\\\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=20,y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x-y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=60,x-y=0$$

เพื่อทำให้ 2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2x+y=60,2x+2\left(-1\right)y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+y=60,2x-2y=0$$

ลบ 2x-2y=0 จาก 2x+y=60 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+y+2y=60$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y+2y=60$$

เพิ่ม y ไปยัง 2y

$$3y=60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน x-y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-20=0$$

เพิ่ม 20 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=20$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=20,y=20$$