แก้โจทย์ {l}{2x+y=55}{x+y=65}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 55 } \\ { x + y = 65 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-10$$

$$y=75$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=55,x+y=65$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=55$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+55$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+55\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+55

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+55}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=65

$$-\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}+y=65$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง y

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=65$$

ลบ \frac{55}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}y=\frac{75}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=75$$

ทดแทน 75 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{55}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 75+\frac{55}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 75

$$x=\frac{-75+55}{2}$$

เพิ่ม \frac{55}{2} ไปยัง -\frac{75}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-10,y=75$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=55,x+y=65$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\65\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55-65\\-55+2\times 65\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\75\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-10,y=75$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=55,x+y=65$$

ลบ x+y=65 จาก 2x+y=55 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-x+y-y=55-65$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-x=55-65$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -x

$$x=55-65$$

เพิ่ม 55 ไปยัง -65

$$x=-10$$

ทดแทน -10 สำหรับ x ใน x+y=65 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-10+y=65$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=75$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-10,y=75$$