แก้โจทย์ {l}{2x+y=4}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=4$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+4

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

ทดแทน -\frac{y}{2}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+2y=4

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+2y=4$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{y}{2}+2

$$-\frac{3}{2}y+6+2y=4$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง 2y

$$\frac{1}{2}y+6=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}y=-2$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)+2$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -4

$$x=2+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4-4\\-3\times 4+2\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=4,3x+2y=4$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+3y=12,6x+4y=8$$

ลบ 6x+4y=8 จาก 6x+3y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+3y-4y=12-8$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-4y=12-8$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -4y

$$-y=12-8$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -8

$$-y=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ y ใน 3x+2y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+2\left(-4\right)=4$$

คูณ 2 ด้วย -4

$$3x-8=4$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-4$$