แก้โจทย์ {l}{2x+y=11}{5x+3y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=11$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y+11

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

ทดแทน \frac{-y+11}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+3y=30

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-y+11}{2}

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

เพิ่ม -\frac{5y}{2} ไปยัง 3y

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

ลบ \frac{55}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 5

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

เพิ่ม \frac{11}{2} ไปยัง -\frac{5}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

เพื่อทำให้ 2x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

ลบ 10x+6y=60 จาก 10x+5y=55 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y-6y=55-60$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -6y

$$-y=55-60$$

เพิ่ม 55 ไปยัง -60

$$-y=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน 5x+3y=30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+3\times 5=30$$

คูณ 3 ด้วย 5

$$5x+15=30$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=5$$