แก้โจทย์ {l}{2x+y=0}{3x+8y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 0 } \\ { 3 x + 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{7}{13}\approx -0.538461538$$

$$y = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=0$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y

$$x=-\frac{1}{2}y$$

ทดแทน -\frac{y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+8y=7

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)y+8y=7$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{y}{2}

$$-\frac{3}{2}y+8y=7$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง 8y

$$\frac{13}{2}y=7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{14}{13}$$

ทดแทน \frac{14}{13} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{14}{13}$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง \frac{14}{13} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{7}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3}&-\frac{1}{2\times 8-3}\\-\frac{3}{2\times 8-3}&\frac{2}{2\times 8-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 7\\\frac{2}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{13}\\\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3y=0,2\times 3x+2\times 8y=2\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+3y=0,6x+16y=14$$

ลบ 6x+16y=14 จาก 6x+3y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+3y-16y=-14$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y-16y=-14$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -16y

$$-13y=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=\frac{14}{13}$$

ทดแทน \frac{14}{13} สำหรับ y ใน 3x+8y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+8\times \frac{14}{13}=7$$

คูณ 8 ด้วย \frac{14}{13}

$$3x+\frac{112}{13}=7$$

ลบ \frac{112}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-\frac{21}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{7}{13}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$