แก้โจทย์ {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+y=-6$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-y-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -y-6

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

ทดแทน -\frac{y}{2}-3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -\frac{1}{4}x+y=3

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -\frac{y}{2}-3

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

เพิ่ม \frac{y}{8} ไปยัง y

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

ลบ \frac{3}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{8} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{2}y-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 2

$$x=-1-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง -1

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{1}{4}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

ลบ -\frac{1}{4}x+y=3 จาก 2x+y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

เพิ่ม 2x ไปยัง \frac{x}{4}

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

เพิ่ม -6 ไปยัง -3

$$\frac{9}{4}x=-9$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-4$$

ทดแทน -4 สำหรับ x ใน -\frac{1}{4}x+y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย -4

$$1+y=3$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=2$$