แก้โจทย์ {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+8y=16$$

ลบ 8y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-8y+16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -8y+16

$$x=-4y+8$$

ทดแทน -4y+8 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+2y+11=0

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

คูณ -1 ด้วย -4y+8

$$4y-8+2y+11=0$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 2y

$$6y-8+11=0$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 11

$$6y+3=0$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน x=-4y+8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{1}{2}

$$x=2+8$$

เพิ่ม 8 ไปยัง 2

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

เพื่อทำให้ 2x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

ลบ -2x+4y+22=0 จาก -2x-8y=-16 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y-4y-22=-16$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -4y

$$-12y-22=-16$$

เพิ่ม 22 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-12y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$y=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ y ใน -x+2y+11=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{1}{2}

$$-x-1+11=0$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 11

$$-x+10=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$