แก้โจทย์ {l}{2x+5y=1/2}{3x=3y+1/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 3 x = 3 y + \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{19}{126}\approx 0.150793651$$

$$y=\frac{5}{126}\approx 0.03968254$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$3x-3y=\frac{1}{3}$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+5y=\frac{1}{2},3x-3y=\frac{1}{3}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+5y=\frac{1}{2}$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5y+\frac{1}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+\frac{1}{2}\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -5y+\frac{1}{2}

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}$$

ทดแทน -\frac{5y}{2}+\frac{1}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-3y=\frac{1}{3}

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}\right)-3y=\frac{1}{3}$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{5y}{2}+\frac{1}{4}

$$-\frac{15}{2}y+\frac{3}{4}-3y=\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{15y}{2} ไปยัง -3y

$$-\frac{21}{2}y+\frac{3}{4}=\frac{1}{3}$$

ลบ \frac{3}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{21}{2}y=-\frac{5}{12}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{21}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{5}{126}$$

ทดแทน \frac{5}{126} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{5}{126}+\frac{1}{4}$$

คูณ -\frac{5}{2} ครั้ง \frac{5}{126} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{25}{252}+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม \frac{1}{4} ไปยัง -\frac{25}{252} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{19}{126}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{126},y=\frac{5}{126}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$3x-3y=\frac{1}{3}$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+5y=\frac{1}{2},3x-3y=\frac{1}{3}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{21}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{21}\times \frac{1}{3}\\\frac{1}{7}\times \frac{1}{2}-\frac{2}{21}\times \frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{126}\\\frac{5}{126}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19}{126},y=\frac{5}{126}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$3x-3y=\frac{1}{3}$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+5y=\frac{1}{2},3x-3y=\frac{1}{3}$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times \frac{1}{2},2\times 3x+2\left(-3\right)y=2\times \frac{1}{3}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+15y=\frac{3}{2},6x-6y=\frac{2}{3}$$

ลบ 6x-6y=\frac{2}{3} จาก 6x+15y=\frac{3}{2} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+15y+6y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y+6y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$

เพิ่ม 15y ไปยัง 6y

$$21y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง -\frac{2}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$21y=\frac{5}{6}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 21

$$y=\frac{5}{126}$$

ทดแทน \frac{5}{126} สำหรับ y ใน 3x-3y=\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-3\times \frac{5}{126}=\frac{1}{3}$$

คูณ -3 ด้วย \frac{5}{126}

$$3x-\frac{5}{42}=\frac{1}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{42} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{19}{42}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{19}{126}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{126},y=\frac{5}{126}$$