แก้โจทย์ {l}{2x+3y=38}{-3x+2y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 38 } \\ { - 3 x + 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+3y=38$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-3y+38$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+38\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3y+38

$$x=-\frac{3}{2}y+19$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}+19 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+2y=21

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+19\right)+2y=21$$

คูณ -3 ด้วย -\frac{3y}{2}+19

$$\frac{9}{2}y-57+2y=21$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 2y

$$\frac{13}{2}y-57=21$$

เพิ่ม 57 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{2}y=78$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times 12+19$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 12

$$x=-18+19$$

เพิ่ม 19 ไปยัง -18

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\times 2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\times 2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 38-\frac{3}{13}\times 21\\\frac{3}{13}\times 38+\frac{2}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

เพื่อทำให้ 2x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 38,2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 21$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x-9y=-114,-6x+4y=42$$

ลบ -6x+4y=42 จาก -6x-9y=-114 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x-9y-4y=-114-42$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-4y=-114-42$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -4y

$$-13y=-114-42$$

เพิ่ม -114 ไปยัง -42

$$-13y=-156$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน -3x+2y=21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+2\times 12=21$$

คูณ 2 ด้วย 12

$$-3x+24=21$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=12$$