แก้โจทย์ {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+14y=-28$$

ลบ 14y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-14y-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -14y-28

$$x=-7y-14$$

ทดแทน -7y-14 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x-14y=28

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

คูณ -4 ด้วย -7y-14

$$28y+56-14y=28$$

เพิ่ม 28y ไปยัง -14y

$$14y+56=28$$

ลบ 56 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$14y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=-7y-14 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

คูณ -7 ด้วย -2

$$x=14-14$$

เพิ่ม -14 ไปยัง 14

$$x=0$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=0,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

เพื่อทำให้ 2x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

ลบ -8x-28y=56 จาก -8x-56y=112 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

เพิ่ม -8x ไปยัง 8x ตัดพจน์ -8x และ 8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-56y+28y=112-56$$

เพิ่ม -56y ไปยัง 28y

$$-28y=112-56$$

เพิ่ม 112 ไปยัง -56

$$-28y=56$$

หารทั้งสองข้างด้วย -28

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน -4x-14y=28 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

คูณ -14 ด้วย -2

$$-4x+28=28$$

ลบ 28 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=0$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=0,y=-2$$