แก้โจทย์ {l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$2x+10-4y=-16x$$

เพิ่ม 16x ไปทั้งสองด้าน

$$2x+10-4y+16x=0$$

รวม 2x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 18x

$$18x+10-4y=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$18x-4y=-10$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 11y จากทั้งสองด้าน

$$10y-10x-11y=-12x$$

รวม 10y และ -11y เพื่อให้ได้รับ -y

$$-y-10x=-12x$$

เพิ่ม 12x ไปทั้งสองด้าน

$$-y-10x+12x=0$$

รวม -10x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$-y+2x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$18x-4y=-10$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$18x=4y-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 18

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

คูณ \frac{1}{18} ด้วย 4y-10

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

ทดแทน \frac{2y-5}{9} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=0

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

คูณ 2 ด้วย \frac{2y-5}{9}

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

เพิ่ม \frac{4y}{9} ไปยัง -y

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

เพิ่ม \frac{10}{9} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

คูณ \frac{2}{9} ด้วย -2

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

เพิ่ม -\frac{5}{9} ไปยัง -\frac{4}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$2x+10-4y=-16x$$

เพิ่ม 16x ไปทั้งสองด้าน

$$2x+10-4y+16x=0$$

รวม 2x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 18x

$$18x+10-4y=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$18x-4y=-10$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 11y จากทั้งสองด้าน

$$10y-10x-11y=-12x$$

รวม 10y และ -11y เพื่อให้ได้รับ -y

$$-y-10x=-12x$$

เพิ่ม 12x ไปทั้งสองด้าน

$$-y-10x+12x=0$$

รวม -10x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$-y+2x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$2x+10-4y=-16x$$

เพิ่ม 16x ไปทั้งสองด้าน

$$2x+10-4y+16x=0$$

รวม 2x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 18x

$$18x+10-4y=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$18x-4y=-10$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 11y จากทั้งสองด้าน

$$10y-10x-11y=-12x$$

รวม 10y และ -11y เพื่อให้ได้รับ -y

$$-y-10x=-12x$$

เพิ่ม 12x ไปทั้งสองด้าน

$$-y-10x+12x=0$$

รวม -10x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$-y+2x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

เพื่อทำให้ 18x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 18

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

ลบ 36x-18y=0 จาก 36x-8y=-20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

เพิ่ม 36x ไปยัง -36x ตัดพจน์ 36x และ -36x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y+18y=-20$$

เพิ่ม -8y ไปยัง 18y

$$10y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน 2x-y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\left(-2\right)=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=-2$$