แก้โจทย์ {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ p โดยแยก p ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2p+3x=10$$

ลบ 3x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2p=-3x+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3x+10

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

ทดแทน -\frac{3x}{2}+5 สำหรับ p ในอีกสมการหนึ่ง p-x+2=0

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

เพิ่ม -\frac{3x}{2} ไปยัง -x

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

เพิ่ม 5 ไปยัง 2

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{14}{5}$$

ทดแทน \frac{14}{5} สำหรับ x ใน p=-\frac{3}{2}x+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง \frac{14}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -\frac{21}{5}

$$p=\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ p และ x

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

เพื่อทำให้ 2p และ p เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

ลบ 2p-2x+4=0 จาก 2p+3x=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

เพิ่ม 2p ไปยัง -2p ตัดพจน์ 2p และ -2p ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x+2x-4=10$$

เพิ่ม 3x ไปยัง 2x

$$5x-4=10$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{14}{5}$$

ทดแทน \frac{14}{5} สำหรับ x ใน p-x+2=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

เพิ่ม -\frac{14}{5} ไปยัง 2

$$p-\frac{4}{5}=0$$

เพิ่ม \frac{4}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$p=\frac{4}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$