แก้โจทย์ {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ p โดยแยก p ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2p+3m=8$$

ลบ 3m จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2p=-3m+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3m+8

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

ทดแทน -\frac{3m}{2}+4 สำหรับ p ในอีกสมการหนึ่ง p+2m=6

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

เพิ่ม -\frac{3m}{2} ไปยัง 2m

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}m=2$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ m ใน p=-\frac{3}{2}m+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 4

$$p=-6+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -6

$$p=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=-2,m=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ p และ m

$$p=-2,m=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

เพื่อทำให้ 2p และ p เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

ลบ 2p+4m=12 จาก 2p+3m=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

เพิ่ม 2p ไปยัง -2p ตัดพจน์ 2p และ -2p ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3m-4m=8-12$$

เพิ่ม 3m ไปยัง -4m

$$-m=8-12$$

เพิ่ม 8 ไปยัง -12

$$-m=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$m=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ m ใน p+2m=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า p โดยตรงได้

$$p+2\times 4=6$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$p+8=6$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$p=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$p=-2,m=4$$