แก้โจทย์ {l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4n จากทั้งสองด้าน

$$-m+5-4n=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-m-4n=-5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m-3n=130$$

เพิ่ม 3n ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2m=3n+130$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3n+130

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

ทดแทน \frac{3n}{2}+65 สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง -m-4n=-5

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

คูณ -1 ด้วย \frac{3n}{2}+65

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

เพิ่ม -\frac{3n}{2} ไปยัง -4n

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

เพิ่ม 65 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{2}n=60$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=-\frac{120}{11}$$

ทดแทน -\frac{120}{11} สำหรับ n ใน m=\frac{3}{2}n+65 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง -\frac{120}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

เพิ่ม 65 ไปยัง -\frac{180}{11}

$$m=\frac{535}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4n จากทั้งสองด้าน

$$-m+5-4n=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-m-4n=-5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 4n จากทั้งสองด้าน

$$-m+5-4n=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-m-4n=-5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

เพื่อทำให้ 2m และ -m เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

ลบ -2m-8n=-10 จาก -2m+3n=-130 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

เพิ่ม -2m ไปยัง 2m ตัดพจน์ -2m และ 2m ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3n+8n=-130+10$$

เพิ่ม 3n ไปยัง 8n

$$11n=-130+10$$

เพิ่ม -130 ไปยัง 10

$$11n=-120$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$n=-\frac{120}{11}$$

ทดแทน -\frac{120}{11} สำหรับ n ใน -m-4n=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{120}{11}

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

ลบ \frac{480}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-m=-\frac{535}{11}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$m=\frac{535}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$