แก้โจทย์ {l}{2m-3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=1$$

$$n=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m-3n=1$$

เพิ่ม 3n ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2m=3n+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3n+1

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{3n+1}{2} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง \frac{5}{3}m-2n=1

$$\frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย \frac{3n+1}{2}

$$\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

เพิ่ม \frac{5n}{2} ไปยัง -2n

$$\frac{1}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

ลบ \frac{5}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{2}n=\frac{1}{6}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 2

$$n=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ n ใน m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง \frac{1}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$m=\frac{1+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times \frac{5}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-\frac{5}{3}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\\-\frac{5}{3}+2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2m-3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

เพื่อทำให้ 2m และ \frac{5m}{3} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{5}{3} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\left(-3\right)n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

ลบ \frac{10}{3}m-4n=2 จาก \frac{10}{3}m-5n=\frac{5}{3} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

เพิ่ม \frac{10m}{3} ไปยัง -\frac{10m}{3} ตัดพจน์ \frac{10m}{3} และ -\frac{10m}{3} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

เพิ่ม -5n ไปยัง 4n

$$-n=\frac{5}{3}-2$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง -2

$$-n=-\frac{1}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$n=\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1}{3} สำหรับ n ใน \frac{5}{3}m-2n=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$\frac{5}{3}m-2\times \frac{1}{3}=1$$

คูณ -2 ด้วย \frac{1}{3}

$$\frac{5}{3}m-\frac{2}{3}=1$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{3}m=\frac{5}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$m=1$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$m=1,n=\frac{1}{3}$$