แก้โจทย์ {l}{2m+3n=1}{7m+3n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { 7 m + 3 n = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า m, n

$$m=1$$

$$n=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ m โดยแยก m ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m+3n=1$$

ลบ 3n จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2m=-3n+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3n+1

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

ทดแทน \frac{-3n+1}{2} สำหรับ m ในอีกสมการหนึ่ง 7m+3n=6

$$7\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)+3n=6$$

คูณ 7 ด้วย \frac{-3n+1}{2}

$$-\frac{21}{2}n+\frac{7}{2}+3n=6$$

เพิ่ม -\frac{21n}{2} ไปยัง 3n

$$-\frac{15}{2}n+\frac{7}{2}=6$$

ลบ \frac{7}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{15}{2}n=\frac{5}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{15}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$n=-\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{1}{3} สำหรับ n ใน m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า m โดยตรงได้

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{3}{2} ครั้ง -\frac{1}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$m=\frac{1+1}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยัง \frac{1}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$m=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 3-3\times 7}&\frac{2}{2\times 3-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{7}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{7}{15}-\frac{2}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ m และ n

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2m+3n=1,7m+3n=6$$

ลบ 7m+3n=6 จาก 2m+3n=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2m-7m+3n-3n=1-6$$

เพิ่ม 3n ไปยัง -3n ตัดพจน์ 3n และ -3n ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2m-7m=1-6$$

เพิ่ม 2m ไปยัง -7m

$$-5m=1-6$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -6

$$-5m=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$m=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ m ใน 7m+3n=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า n โดยตรงได้

$$7+3n=6$$

ลบ 7 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3n=-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$n=-\frac{1}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$m=1,n=-\frac{1}{3}$$