แก้โจทย์ {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2ax+by=14$$

ลบ by จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2a

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

คูณ \frac{1}{2a} ด้วย -by+14

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

ทดแทน \frac{-by+14}{2a} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+9y=-19

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-by+14}{2a}

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

เพิ่ม \frac{by}{a} ไปยัง 9y

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

เพิ่ม \frac{14}{a} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9+\frac{b}{a}

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ทดแทน \frac{14-19a}{9a+b} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

คูณ -\frac{b}{2a} ด้วย \frac{14-19a}{9a+b}

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

เพิ่ม \frac{7}{a} ไปยัง -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

เพื่อทำให้ 2ax และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2a

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

ลบ \left(-4a\right)x+18ay=-38a จาก \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

เพิ่ม -4ax ไปยัง 4ax ตัดพจน์ -4ax และ 4ax ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

เพิ่ม -2by ไปยัง -18ay

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

เพิ่ม -28 ไปยัง 38a

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2b-18a

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

ทดแทน -\frac{-14+19a}{b+9a} สำหรับ y ใน -2x+9y=-19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

คูณ 9 ด้วย -\frac{-14+19a}{b+9a}

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

เพิ่ม \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2ax+by=14$$

ลบ by จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2a

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

คูณ \frac{1}{2a} ด้วย -by+14

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

ทดแทน \frac{-by+14}{2a} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+9y=-19

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-by+14}{2a}

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

เพิ่ม \frac{by}{a} ไปยัง 9y

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

เพิ่ม \frac{14}{a} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9+\frac{b}{a}

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ทดแทน \frac{14-19a}{9a+b} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

คูณ -\frac{b}{2a} ด้วย \frac{14-19a}{9a+b}

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

เพิ่ม \frac{7}{a} ไปยัง -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

เพื่อทำให้ 2ax และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2a

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

ลบ \left(-4a\right)x+18ay=-38a จาก \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

เพิ่ม -4ax ไปยัง 4ax ตัดพจน์ -4ax และ 4ax ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

เพิ่ม -2by ไปยัง -18ay

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

เพิ่ม -28 ไปยัง 38a

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2b-18a

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

ทดแทน -\frac{-14+19a}{b+9a} สำหรับ y ใน -2x+9y=-19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

คูณ 9 ด้วย -\frac{-14+19a}{b+9a}

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

เพิ่ม \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$