แก้โจทย์ {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=24$$

$$b=16$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3b จากทั้งสองด้าน

$$2a-3b=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a-3b=0$$

เพิ่ม 3b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=3b$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3b

$$a=\frac{3}{2}b$$

ทดแทน \frac{3b}{2} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 7a+2b=200

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

คูณ 7 ด้วย \frac{3b}{2}

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

เพิ่ม \frac{21b}{2} ไปยัง 2b

$$\frac{25}{2}b=200$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=16$$

ทดแทน 16 สำหรับ b ใน a=\frac{3}{2}b เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย 16

$$a=24$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=24,b=16$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3b จากทั้งสองด้าน

$$2a-3b=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=24,b=16$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3b จากทั้งสองด้าน

$$2a-3b=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

เพื่อทำให้ 2a และ 7a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

ลบ 14a+4b=400 จาก 14a-21b=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

เพิ่ม 14a ไปยัง -14a ตัดพจน์ 14a และ -14a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-21b-4b=-400$$

เพิ่ม -21b ไปยัง -4b

$$-25b=-400$$

หารทั้งสองข้างด้วย -25

$$b=16$$

ทดแทน 16 สำหรับ b ใน 7a+2b=200 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$7a+2\times 16=200$$

คูณ 2 ด้วย 16

$$7a+32=200$$

ลบ 32 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7a=168$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$a=24$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=24,b=16$$