แก้โจทย์ {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=5$$

$$b=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a+3b=4$$

ลบ 3b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2a=-3b+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -3b+4

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

ทดแทน -\frac{3b}{2}+2 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง -2a+3b=-16

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{3b}{2}+2

$$3b-4+3b=-16$$

เพิ่ม 3b ไปยัง 3b

$$6b-4=-16$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6b=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$b=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ b ใน a=-\frac{3}{2}b+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย -2

$$a=3+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง 3

$$a=5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=5,b=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=5,b=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

ลบ -2a+3b=-16 จาก 2a+3b=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

เพิ่ม 3b ไปยัง -3b ตัดพจน์ 3b และ -3b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2a+2a=4+16$$

เพิ่ม 2a ไปยัง 2a

$$4a=4+16$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 16

$$4a=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ a ใน -2a+3b=-16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$-2\times 5+3b=-16$$

คูณ -2 ด้วย 5

$$-10+3b=-16$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3b=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$b=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=5,b=-2$$