แก้โจทย์ {l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 6x+3

$$2-y=12x+6+y$$

ลบ 12x จากทั้งสองด้าน

$$2-y-12x=6+y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2-y-12x-y=6$$

รวม -y และ -y เพื่อให้ได้รับ -2y

$$2-2y-12x=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$-2y-12x=6-2$$

ลบ 2 จาก 6 เพื่อรับ 4

$$-2y-12x=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+4-3y=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-3y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2y-12x=4$$

เพิ่ม 12x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=12x+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 12x+4

$$y=-6x-2$$

ทดแทน -6x-2 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -3y+x=-4

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

คูณ -3 ด้วย -6x-2

$$18x+6+x=-4$$

เพิ่ม 18x ไปยัง x

$$19x+6=-4$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$19x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 19

$$x=-\frac{10}{19}$$

ทดแทน -\frac{10}{19} สำหรับ x ใน y=-6x-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

คูณ -6 ด้วย -\frac{10}{19}

$$y=\frac{60}{19}-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง \frac{60}{19}

$$y=\frac{22}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 6x+3

$$2-y=12x+6+y$$

ลบ 12x จากทั้งสองด้าน

$$2-y-12x=6+y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2-y-12x-y=6$$

รวม -y และ -y เพื่อให้ได้รับ -2y

$$2-2y-12x=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$-2y-12x=6-2$$

ลบ 2 จาก 6 เพื่อรับ 4

$$-2y-12x=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+4-3y=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-3y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 6x+3

$$2-y=12x+6+y$$

ลบ 12x จากทั้งสองด้าน

$$2-y-12x=6+y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$2-y-12x-y=6$$

รวม -y และ -y เพื่อให้ได้รับ -2y

$$2-2y-12x=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$-2y-12x=6-2$$

ลบ 2 จาก 6 เพื่อรับ 4

$$-2y-12x=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x+4-3y=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$x-3y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

เพื่อทำให้ -2y และ -3y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

ลบ 6y-2x=8 จาก 6y+36x=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -6y ตัดพจน์ 6y และ -6y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$36x+2x=-12-8$$

เพิ่ม 36x ไปยัง 2x

$$38x=-12-8$$

เพิ่ม -12 ไปยัง -8

$$38x=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 38

$$x=-\frac{10}{19}$$

ทดแทน -\frac{10}{19} สำหรับ x ใน -3y+x=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

เพิ่ม \frac{10}{19} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=\frac{22}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$