แก้โจทย์ {l}{2(x+y)-(x-y)=4}{4(x+y)+(x-y)=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 4 } \\ { 4 ( x + y ) + ( x - y ) = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y-\left(x-y\right)=4$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x-y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x+2y-x+y=4$$

รวม 2x และ -x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+2y+y=4$$

รวม 2y และ y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$x+3y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+y

$$4x+4y+x-y=8$$

รวม 4x และ x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x+4y-y=8$$

รวม 4y และ -y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$5x+3y=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+3y=4,5x+3y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+3y=4$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-3y+4$$

ทดแทน -3y+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+3y=8

$$5\left(-3y+4\right)+3y=8$$

คูณ 5 ด้วย -3y+4

$$-15y+20+3y=8$$

เพิ่ม -15y ไปยัง 3y

$$-12y+20=8$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-12y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-3y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-3+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y-\left(x-y\right)=4$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x-y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x+2y-x+y=4$$

รวม 2x และ -x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+2y+y=4$$

รวม 2y และ y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$x+3y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+y

$$4x+4y+x-y=8$$

รวม 4x และ x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x+4y-y=8$$

รวม 4y และ -y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$5x+3y=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+3y=4,5x+3y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\times 5}&-\frac{3}{3-3\times 5}\\-\frac{5}{3-3\times 5}&\frac{1}{3-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\\\frac{5}{12}\times 4-\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y-\left(x-y\right)=4$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x-y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$2x+2y-x+y=4$$

รวม 2x และ -x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+2y+y=4$$

รวม 2y และ y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$x+3y=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+y

$$4x+4y+x-y=8$$

รวม 4x และ x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x+4y-y=8$$

รวม 4y และ -y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$5x+3y=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+3y=4,5x+3y=8$$

ลบ 5x+3y=8 จาก x+3y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-5x+3y-3y=4-8$$

เพิ่ม 3y ไปยัง -3y ตัดพจน์ 3y และ -3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x-5x=4-8$$

เพิ่ม x ไปยัง -5x

$$-4x=4-8$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -8

$$-4x=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ x ใน 5x+3y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5+3y=8$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$