แก้โจทย์ {l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+3

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+1

$$2x+6=3y+3+1$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$2x+6=3y+4$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x+6-3y=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=4-6$$

ลบ 6 จาก 4 เพื่อรับ -2

$$2x-3y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y-1

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-2

$$3x-3y-3=2x-4$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x-3y-3-2x=-4$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-3y-3=-4$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$x-3y=-4+3$$

เพิ่ม -4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ -1

$$x-3y=-1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=-2$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y-2

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

ทดแทน \frac{3y}{2}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-3y=-1

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

เพิ่ม \frac{3y}{2} ไปยัง -3y

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{2}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+3

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+1

$$2x+6=3y+3+1$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$2x+6=3y+4$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x+6-3y=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=4-6$$

ลบ 6 จาก 4 เพื่อรับ -2

$$2x-3y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y-1

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-2

$$3x-3y-3=2x-4$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x-3y-3-2x=-4$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-3y-3=-4$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$x-3y=-4+3$$

เพิ่ม -4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ -1

$$x-3y=-1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+3

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+1

$$2x+6=3y+3+1$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$2x+6=3y+4$$

ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$2x+6-3y=4$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน

$$2x-3y=4-6$$

ลบ 6 จาก 4 เพื่อรับ -2

$$2x-3y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y-1

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-2

$$3x-3y-3=2x-4$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$3x-3y-3-2x=-4$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$x-3y-3=-4$$

เพิ่ม 3 ไปทั้งสองด้าน

$$x-3y=-4+3$$

เพิ่ม -4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ -1

$$x-3y=-1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

ลบ x-3y=-1 จาก 2x-3y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 3y ตัดพจน์ -3y และ 3y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2x-x=-2+1$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -x

$$x=-2+1$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 1

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน x-3y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-1-3y=-1$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=0$$